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$\textbf{2)}$ Buscamos las raíces de $f(x)$ igualando la función a cero
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.2.
De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
$x e^{-x^{2}-x} = 0$
Como la exponencial nunca vale cero, esta multiplicación sólo puede ser $0$ si $x = 0$.
Entonces, la única raíz de \( f(x) \) es \( x = 0 \).
$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 0 \)
b) \( x > 0 \)
$\textbf{4)}$ Evaluamos el signo de \( f(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para \( x < 0 \) tomemos por ejemplo \( x = -1 \):
\( f(-1) < 0 \)
Para \( x > 0 \) tomamos por ejemplo \( x = 1 \):
\( f(1) > 0 \)
Por lo tanto,
Conjunto de positividad: $(0,+\infty)$
Conjunto de negatividad: $(-\infty, 0)$